Trigonometrie Beispiele

$t = \sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}} = t$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}}^{2} = t^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$ als ${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = t^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 t + 24$ und $16$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 t$ heraus.

${(\frac{8 (t) + 24}{16})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

${(\frac{8 t + 8 \cdot 3}{16})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 t + 8 \cdot 3$ heraus.

${(\frac{8 (t + 3)}{16})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

${(\frac{8 (t + 3)}{8 (2)})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8 (t + 3)}{8 \cdot 2})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{t + 3}{2})}^{1} = t^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$\frac{t + 3}{2} = t^{2}$

Schritt 4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{t + 3}{2} \cdot 2 = t^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t + 3}{2} \cdot 2 = t^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$t + 3 = t^{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$t + 3 = 2 t^{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $2 t^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t + 3 - 2 t^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $t + 3 - 2 t^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Bewege $3$ .

$t - 2 t^{2} + 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Stelle $t$ und $- 2 t^{2}$ um.

$- 2 t^{2} + t + 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t^{2}$ heraus.

$- (2 t^{2}) + t + 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $t$ heraus.

$- (2 t^{2}) - 1 (- t) + 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (2 t^{2}) - 1 (- t) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t^{2}) - 1 (- t)$ heraus.

$- (2 t^{2} - t) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t^{2} - t) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (2 t^{2} - t - 3) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$- (2 t^{2} - (t) - 3) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$- (2 t^{2} + (2 - 3) t - 3) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 t^{2} + 2 t - 3 t - 3) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 t^{2} + 2 t) - 3 t - 3) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 t (t + 1) - 3 (t + 1)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $t + 1$ .

$- ((t + 1) (2 t - 3)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (t + 1) (2 t - 3) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

$2 t - 3 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $t + 1$ gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 1$

Schritt 4.3.5

Setze $2 t - 3$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Setze $2 t - 3$ gleich $0$ .

$2 t - 3 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Löse $2 t - 3 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 4.3.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 t = 3$

Schritt 4.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 t = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 t = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{3}{2}$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (t + 1) (2 t - 3) = 0$ wahr machen.

$t = - 1, \frac{3}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $t = \sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$ nicht erfüllen.

$t = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$t = 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$t = 1 \frac{1}{2}$