Trigonometrie Beispiele

$1800 = 2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ um.

$2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ durch $2600$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ durch $2600$ .

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2600$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere ${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$ durch $1$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{1800}{2600}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1800$ und $2600$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $200$ aus $1800$ heraus.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 (9)}{2600}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $200$ aus $2600$ heraus.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{9}{13}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \sqrt[3]{\frac{9}{13}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ als $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ um.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{13}$ mit $1$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ als $13$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{13}$ als $13^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Schritt 4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ als $\sqrt[3]{13^{2}}$ um.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{169}}{13}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot 169}}{13}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $169$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ durch $- 0.51$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ durch $- 0.51$ .

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.51$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $e^{- 0.075 t}$ durch $1$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot \frac{1}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3.1.2

Dividiere $1$ durch $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431$ .

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Schritt 6.3.1.3.1

Kombiniere $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$ und $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521} \cdot - 1.96078431}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt[3]{1521}$ mit $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{- 22.54963735}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3.1.4

Dividiere $- 22.54963735$ durch $13$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Schritt 6.3.1.5

Dividiere $- 1$ durch $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + 1.96078431$

Schritt 6.3.2

Addiere $- 1.73458748$ und $1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = 0.22619682$

Schritt 7

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.075 t}) = \ln (0.22619682)$

Schritt 8

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 8.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.075 t})$ durch Herausziehen von $- 0.075 t$ aus dem Logarithmus.

$- 0.075 t \ln (e) = \ln (0.22619682)$

Schritt 8.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.075 t \cdot 1 = \ln (0.22619682)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 0.075$ mit $1$ .

$- 0.075 t = \ln (0.22619682)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ durch $- 0.075$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ durch $- 0.075$ .

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.075$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (0.22619682)}{0.075}$

Schritt 9.3.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.22619682)}{0.075}$

Schritt 9.3.3

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $0.22619682$ ist ungefähr $- 1.48634975$ .

$t = - \frac{- 1.48634975}{0.075}$

Schritt 9.3.4

Dividiere $- 1.48634975$ durch $0.075$ .

$t = - - 19.81799669$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 19.81799669$ .

$t = 19.81799669$