Trigonometrie Beispiele

$14.55 = 2.35 \sin (0.017 t + 1.86) + 12.2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2.35 \sin (0.017 t + 1.86) + 12.2 = 14.55$ um.

$2.35 \sin (0.017 t + 1.86) + 12.2 = 14.55$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (0.017 t + 1.86)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $12.2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2.35 \sin (0.017 t + 1.86) = 14.55 - 12.2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12.2$ von $14.55$ .

$2.35 \sin (0.017 t + 1.86) = 2.35$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2.35 \sin (0.017 t + 1.86) = 2.35$ durch $2.35$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2.35 \sin (0.017 t + 1.86) = 2.35$ durch $2.35$ .

$\frac{2.35 \sin (0.017 t + 1.86)}{2.35} = \frac{2.35}{2.35}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2.35$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2.35 \sin (0.017 t + 1.86)}{2.35} = \frac{2.35}{2.35}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (0.017 t + 1.86)$ durch $1$ .

$\sin (0.017 t + 1.86) = \frac{2.35}{2.35}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $2.35$ durch $2.35$ .

$\sin (0.017 t + 1.86) = 1$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$0.017 t + 1.86 = \arcsin (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$0.017 t + 1.86 = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1.86$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.017 t = \frac{π}{2} - 1.86$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1.86$ von $\frac{π}{2}$ .

$0.017 t = - 0.28920367$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $0.017 t = - 0.28920367$ durch $0.017$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $0.017 t = - 0.28920367$ durch $0.017$ .

$\frac{0.017 t}{0.017} = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.017$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.017 t}{0.017} = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 0.28920367$ durch $0.017$ .

$t = - 17.01198077$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$0.017 t + 1.86 = π - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0.017 t + 1.86 = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$0.017 t + 1.86 = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0.017 t + 1.86 = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$0.017 t + 1.86 = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$0.017 t + 1.86 = \frac{π}{2}$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1.86$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.017 t = \frac{π}{2} - 1.86$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $1.86$ von $\frac{π}{2}$ .

$0.017 t = - 0.28920367$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $0.017 t = - 0.28920367$ durch $0.017$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.017 t = - 0.28920367$ durch $0.017$ .

$\frac{0.017 t}{0.017} = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.017$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.017 t}{0.017} = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 0.28920367}{0.017}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Dividiere $- 0.28920367$ durch $0.017$ .

$t = - 17.01198077$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (0.017 t + 1.86)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $0.017$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 0.017 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0.017$ ist $0.017$ .

$\frac{2 π}{0.017}$

Schritt 10.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{0.017}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{0.017}$

Schritt 10.6

Dividiere $6.2831853$ durch $0.017$ .

$369.59913571$

Schritt 11

Addiere $369.59913571$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.1

Addiere $369.59913571$ zu $- 17.01198077$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 17.01198077 + 369.59913571$

Schritt 11.2

Subtrahiere $17.01198077$ von $369.59913571$ .

$352.58715493$

Schritt 11.3

Liste die neuen Winkel auf.

$t = 352.58715493$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (0.017 t + 1.86)$ ist $369.59913571$ , d. h., Werte werden sich alle $369.59913571$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 352.58715493 + 369.59913571 n$ , für jede ganze Zahl $n$