Trigonometrie Beispiele

$4 = - 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ um.

$- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = \frac{4}{- 5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = - \frac{4}{5}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{3 π}{4} t = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3 π}{4}$ und $t$ .

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arcsin (- \frac{4}{5})$ .

$\frac{3 π t}{4} = - 0.92729521$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 π$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $3 π$ aus $3 π t$ heraus.

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3 π}$ und $- 0.92729521$ .

$t = \frac{4 \cdot - 0.92729521}{3 π}$

Schritt 7.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.92729521$ .

$t = \frac{- 3.70918087}{3 π}$

Schritt 7.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{3.70918087}{3 π}$

Schritt 7.2.1.3

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = - \frac{3.70918087}{3 \cdot 3.14159265}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3.14159265$ .

$t = - \frac{3.70918087}{9.42477796}$

Schritt 7.2.1.5

Dividiere $3.70918087$ durch $9.42477796$ .

$t = - 1 \cdot 0.39355631$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.39355631$ .

$t = - 0.39355631$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 9.2

Der resultierende Winkel von $4.06888787$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{3 π t}{4} = 4.06888787$

Schritt 9.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

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Schritt 9.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 π$ .

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Schritt 9.3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3 π$ aus $3 π t$ heraus.

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Schritt 9.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

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Schritt 9.3.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

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Schritt 9.3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3 π}$ und $4.06888787$ .

$t = \frac{4 \cdot 4.06888787}{3 π}$

Schritt 9.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4.06888787$ .

$t = \frac{16.27555148}{3 π}$

Schritt 9.3.2.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{16.27555148}{3 \cdot 3.14159265}$

Schritt 9.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{16.27555148}{9.42477796}$

Schritt 9.3.2.2.1.4

Dividiere $16.27555148$ durch $9.42477796$ .

$t = 1.72688964$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3 π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3 π}{4} |}$

Schritt 10.3

$\frac{3 π}{4}$ ist ungefähr $2.35619449$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3 π}{4}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{3 π}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{3 π}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Schritt 10.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Schritt 10.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{3})$

Schritt 10.6

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Schritt 10.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 11

Addiere $\frac{8}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.1

Addiere $\frac{8}{3}$ zu $- 0.39355631$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.39355631 + \frac{8}{3}$

Schritt 11.2

Um $- 0.39355631$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 0.39355631 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $- 0.39355631$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 0.39355631$ mit $3$ .

$\frac{8 - 1.18066894}{3}$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $1.18066894$ von $8$ .

$\frac{6.81933105}{3}$

Schritt 11.5

Dividiere $6.81933105$ durch $3$ .

$2.27311035$

Schritt 11.6

Liste die neuen Winkel auf.

$t = 2.27311035$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ ist $\frac{8}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{8}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 1.72688964 + \frac{8 n}{3}, 2.27311035 + \frac{8 n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$