Trigonometrie Beispiele

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\log_{6} (5 x), 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\log_{6} (5 x)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ mit $\log_{6} (5 x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ mit $\log_{6} (5 x)$ .

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log_{6} (5 x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (15 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \log_{6} (5 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} ({(5 x)}^{2})$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (5^{2} x^{2})$

Schritt 2.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (25 x^{2})$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$15 x = 25 x^{2}$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 x - 25 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$15 u - 25 u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $5 u$ aus $15 u - 25 u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $5 u$ aus $15 u$ heraus.

$5 u (3) - 25 u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2.2

Faktorisiere $5 u$ aus $- 25 u^{2}$ heraus.

$5 u (3) + 5 u (- 5 u) = 0$

Schritt 3.2.2.2.3

Faktorisiere $5 u$ aus $5 u (3) + 5 u (- 5 u)$ heraus.

$5 u (3 - 5 u) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$5 x (3 - 5 x) = 0$

Schritt 3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 - 5 x = 0$

Schritt 3.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.5

Setze $3 - 5 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $3 - 5 x$ gleich $0$ .

$3 - 5 x = 0$

Schritt 3.2.5.2

Löse $3 - 5 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = - 3$

Schritt 3.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 3$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 3$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Schritt 3.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Schritt 3.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 5}$

Schritt 3.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x (3 - 5 x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3}{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.6$