Trigonometrie Beispiele

$\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log_{2} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (x^{2}) = 15$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x^{2} x^{2}) = 15$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (x^{2 + 2}) = 15$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\log_{2} (x^{4}) = 15$

Schritt 3

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 3.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = 2$ , $x = x^{4}$ und $y = 15$ .

$b = 2$

$x = x^{4}$

$y = 15$

Schritt 3.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$2^{15} = x^{4}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} = 2^{15}$ um.

$x^{4} = 2^{15}$

Schritt 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{15}}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{2^{15}}$ .

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Schritt 4.3.1

Potenziere $2$ mit $15$ .

$x = \pm \sqrt[4]{32768}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $32768$ als $8^{4} \cdot 8$ um.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $4096$ aus $32768$ heraus.

$x = \pm \sqrt[4]{4096 (8)}$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $4096$ als $8^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{8^{4} \cdot 8}$

Schritt 4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 8 \sqrt[4]{8}$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8 \sqrt[4]{8}$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8 \sqrt[4]{8}, - 8 \sqrt[4]{8}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$ nicht erfüllen.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Dezimalform:

$x = 13.45434264 \dots$