Trigonometrie Beispiele

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 6$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $10^{x} - 10^{- x}$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10^{x} - 10^{- x}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $6 (10^{x} - 10^{- x})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} + 6 (- 10^{- x})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $10^{- x}$ als Potenz um.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.2

Ersetze $10^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.4

Schreibe $10^{- x}$ als Potenz um.

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.5

Ersetze $10^{x}$ durch $u$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot u - 6 \cdot u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u - 6 \cdot \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u + \frac{- 6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u + \frac{1}{u} = 6 u - \frac{6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Subtrahiere $6 \cdot 10^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} = - 6 \cdot 10^{- x}$

Schritt 3.7.2

Addiere $6 \cdot 10^{- x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $6 \cdot 10^{x}$ von $10^{x}$ .

$10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Schritt 3.7.4

Addiere $10^{- x}$ und $6 \cdot 10^{- x}$ .

$7 \cdot 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Schritt 3.8

Schreibe $10^{- x}$ als Potenz um.

$7 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Schritt 3.9

Ersetze $10^{x}$ durch $u$ .

$7 \cdot u^{- 1} - 5 \cdot u = 0$

Schritt 3.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \cdot \frac{1}{u} - 5 \cdot u = 0$

Schritt 3.10.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{7}{u} - 5 u = 0$

Schritt 3.11

Stelle $\frac{7}{u}$ und $- 5 u$ um.

$- 5 u + \frac{7}{u} = 0$

Schritt 3.12

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.12.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.12.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.12.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.12.2

Multipliziere jeden Term in $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.12.2.1

Multipliziere jeden Term in $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ mit $u$ .

$- 5 u \cdot u + \frac{7}{u} u = 0 u$

Schritt 3.12.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.12.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$- 5 (u \cdot u) + \frac{7}{u} u = 0 u$

Schritt 3.12.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Schritt 3.12.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.12.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Schritt 3.12.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 u^{2} + 7 = 0 u$

Schritt 3.12.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.12.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$- 5 u^{2} + 7 = 0$

Schritt 3.12.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.12.3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 u^{2} = - 7$

Schritt 3.12.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 u^{2} = - 7$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.12.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 u^{2} = - 7$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Schritt 3.12.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.12.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.12.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Schritt 3.12.3.2.2.1.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$u^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Schritt 3.12.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.12.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u^{2} = \frac{7}{5}$

Schritt 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.12.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.12.3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{5}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ um.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.12.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.12.3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.12.3.4.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 3.12.3.4.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 3.12.3.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.12.3.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.12.3.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.12.3.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 3.12.3.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 3.12.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.3.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$u = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Schritt 3.12.3.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.12.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.12.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.12.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.12.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.13

Setze $\frac{\sqrt{35}}{5}$ für $u$ in $u = 10^{x}$ ein.

$\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Schritt 3.14

Löse $\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Schritt 3.14.1

Schreibe die Gleichung als $10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$ um.

$10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.14.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 3.14.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.14.3.1

Zerlege $\log (10^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 3.14.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 3.14.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 3.15

Setze $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ für $u$ in $u = 10^{x}$ ein.

$- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Schritt 3.16

Löse $- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Schritt 3.16.1

Schreibe die Gleichung als $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ um.

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Schritt 3.16.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 3.16.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.16.4

Es gibt keine Lösung für $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Keine Lösung

Schritt 3.17

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Dezimalform:

$x = 0.07306401 \dots$