Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Schritt 2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.1.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.1.1.1
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 2.1.1.2
Wende die Doppelwinkelfunktion an, um nach zu transformieren.
Schritt 2.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.1.3
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 2.1.4
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.1.4.1
Multipliziere .
Schritt 2.1.4.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.1.3
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.1.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.1.5
Addiere und .
Schritt 2.1.4.1.6
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.1.7
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.1.8
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.1.9
Addiere und .
Schritt 2.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.1.4.3.1
Bewege .
Schritt 2.1.4.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.3.3
Addiere und .
Schritt 2.1.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.8
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.1.4.8.1
Bewege .
Schritt 2.1.4.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.8.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.8.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.8.3
Addiere und .
Schritt 2.1.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.11
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.1.4.12
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.1.4.12.1
Bewege .
Schritt 2.1.4.12.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.12.3
Addiere und .
Schritt 2.1.4.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.5
Addiere und .
Schritt 2.1.6
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.8
Bewege .
Schritt 2.1.9
Stelle und um.
Schritt 2.1.10
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.11
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.12
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.13
Schreibe als um.
Schritt 2.1.14
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.15
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.1.15.1
Bewege .
Schritt 2.1.15.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.15.3
Addiere und .
Schritt 2.1.16
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 2.1.16.1
Addiere und .
Schritt 2.1.16.2
Addiere und .
Schritt 2.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2
Addiere und .
Schritt 3
Schritt 3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
Schritt 5.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 5.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.2.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 5.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 5.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 5.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 5.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 5.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 5.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 6
Schritt 6.1
Setze gleich .
Schritt 6.2
Löse nach auf.
Schritt 6.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 6.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 6.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 6.2.4
Vereinfache .
Schritt 6.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 6.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 6.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 6.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 6.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 6.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 6.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 6.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 7
Schritt 7.1
Setze gleich .
Schritt 7.2
Löse nach auf.
Schritt 7.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 7.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 7.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 7.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 7.2.2.3.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 7.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 7.2.4
Vereinfache .
Schritt 7.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 7.2.4.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 7.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.4.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 7.2.4.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.4.4.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.4.4.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.4.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2.4.4.5
Addiere und .
Schritt 7.2.4.4.6
Schreibe als um.
Schritt 7.2.4.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 7.2.4.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 7.2.4.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 7.2.4.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 7.2.4.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.4.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.4.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 7.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 7.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 7.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 7.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 7.2.6
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 7.2.7
Löse in nach auf.
Schritt 7.2.7.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7.2.7.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 7.2.7.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.7.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 7.2.7.4
Vereinfache .
Schritt 7.2.7.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 7.2.7.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 7.2.7.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 7.2.7.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.2.7.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 7.2.7.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 7.2.7.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.7.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 7.2.7.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 7.2.7.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 7.2.7.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 7.2.7.5.4
Dividiere durch .
Schritt 7.2.7.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 7.2.8
Löse in nach auf.
Schritt 7.2.8.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7.2.8.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 7.2.8.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.8.3
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 7.2.8.4
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
Schritt 7.2.8.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.8.4.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 7.2.8.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 7.2.8.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 7.2.8.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 7.2.8.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 7.2.8.5.4
Dividiere durch .
Schritt 7.2.8.6
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
Schritt 7.2.8.6.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 7.2.8.6.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 7.2.8.6.3
Kombiniere Brüche.
Schritt 7.2.8.6.3.1
Kombiniere und .
Schritt 7.2.8.6.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.2.8.6.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 7.2.8.6.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.8.6.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.8.6.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 7.2.8.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 7.2.9
Liste alle Lösungen auf.
, für jede ganze Zahl
Schritt 7.2.10
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 8
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 9
Schritt 9.1
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 9.2
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 9.3
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 9.4
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl