Trigonometrie Beispiele

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse $\tan (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 2.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.2.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$