Trigonometrie Beispiele

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{125})}^{- 8 x + 22}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{5})}^{3 (- 8 x + 22)}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $3 (- 8 x + 22)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$- 2 x^{2} - 4 = 0 + 0 + 3 (- 8 x + 22)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x) + 3 \cdot 22$

Schritt 3.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 3 \cdot 22$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $22$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 66$

Schritt 3.2

Addiere $24 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x = 66$

Schritt 3.3

Subtrahiere $66$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x - 66 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $66$ von $- 4$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 24 x - 70$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $24 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 70 = 0$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 70$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (35)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 3.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Schritt 3.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.8

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 5$