Trigonometrie Beispiele

$(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Setze $\cot (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\cot (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse $\cot (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = 1$

Schritt 2.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.2.5.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\cot (x)$ durch $1$ .

$\cot (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.2.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.2.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.5

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Schritt 3.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{3}$ ist positiv und gleich $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 5.1

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{5 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$