Trigonometrie Beispiele

$(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 2

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse $\cot (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 2.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 5.1

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{7 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$