Trigonometrie Beispiele

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{625}{16}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{2}{5})}^{x}) = \ln (\frac{625}{16})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{5})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{625}{16})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{2}{5})$ als $\ln (2) - \ln (5)$ um.

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{625}{16})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{625}{16})$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{625}{16})$ durch $\ln (\frac{2}{5})$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{625}{16})$ durch $\ln (\frac{2}{5})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{5})}{\ln (\frac{2}{5})} = \frac{\ln (\frac{625}{16})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{5})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{2}{5})}{\ln (\frac{2}{5})} = \frac{\ln (\frac{625}{16})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{625}{16})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{625}{16})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Dezimalform:

$x = - 4$