Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ mit $3$ .

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$u^{3} - 3 u = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u$ aus $u^{3} - 3 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3}$ heraus.

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $u$ aus $- 3 u$ heraus.

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ heraus.

$u (u^{2} - 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 7

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 7.2

Löse $u^{2} - 3 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = 3$

Schritt 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Schritt 7.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt{3}$

Schritt 7.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 11.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 11.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\tan (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 12.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 12.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 12.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Löse in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 13.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 13.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 13.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 13.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 13.6.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 13.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 13.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.6.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 13.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 13.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 13.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$