Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\cos (x), 3$

Schritt 1.2

Since $\cos (x), 3$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 3$ then find LCM for the variable part $\cos^{1} (x)$ .

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 1.6

Das kgV von $1, 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 1.7

Der Teiler von $\cos^{1} (x)$ ist $\cos (x)$ selbst.

$\cos^{1} (x) = \cos (x)$

$\cos (x)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.8

Das kgV von $\cos^{1} (x)$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$\cos (x)$

Schritt 1.9

Das kgV von $\cos (x), 3$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 \cos (x)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ mit $3 \cos (x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ mit $3 \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (3 \cos (x)) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (x)$ heraus.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 = 8 \cos (x)$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 \cos (x) = 3$ um.

$8 \cos (x) = 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (x) = 3$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (x) = 3$ durch $8$ .

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{8}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{3}{8})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (\frac{3}{8})$ .

$x = 1.18639955$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.18639955$

Schritt 7

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.18639955$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.18639955$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1.18639955$ von $6.2831853$ .

$x = 5.09678575$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.18639955 + 2 π n, 5.09678575 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$