Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{2} = \cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$ um.

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{4}{3} \cdot (π x) = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot (π x)$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{4}{3} (π x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3} x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $x$ .

$\frac{π \cdot 4 x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$4 π x = π$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $4 π x = π$ durch $4 π$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 π x = π$ durch $4 π$ .

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{4 π}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4 π$ aus $4 π x$ heraus.

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{4 π} (2 π \cdot 3 - π)$

Schritt 8.2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{1}{4 π} (6 π - π)$

Schritt 8.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{1}{4 π} (5 π)$

Schritt 8.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.2.1.7.1

Faktorisiere $π$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (5 π)$

Schritt 8.2.2.1.7.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Schritt 8.2.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Schritt 8.2.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{4} \cdot 5$

Schritt 8.2.2.1.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $5$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{4}{3} \cdot π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} \cdot π |}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{2 π}{| \frac{4 π}{3} |}$

Schritt 9.3.2

$\frac{4 π}{3}$ ist ungefähr $4.1887902$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{4 π}{3}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{4 π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $2 π$ aus $4 π$ heraus.

$2 π \frac{3}{2 π (2)}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2 π \cdot 2}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ ist $\frac{3}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{3}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{1}{4} + \frac{3 n}{2}, \frac{5}{4} + \frac{3 n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$