Trigonometrie Beispiele

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (12^{2 x + 5})$ durch Herausziehen von $2 x + 5$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ als $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ um.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (7^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(2 x + 5) \ln (12)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (12)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5.1.1.3

Vereinfache $5 \ln (12)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.4.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5.1.1.4.2

Potenziere $12$ mit $5$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 \ln (7)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

Schritt 5.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

Schritt 5.5

Subtrahiere $\ln (\frac{248832}{55})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (144) - x \ln (343)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (144)$ heraus.

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (343)$ heraus.

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ heraus.

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Schritt 5.7

Schreibe $- 1 \ln (343)$ als $- \ln (343)$ um.

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ durch $\ln (144) - \ln (343)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ durch $\ln (144) - \ln (343)$ .

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (144) - \ln (343)$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Schritt 5.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Dezimalform:

$x = 9.69816080 \dots$