Trigonometrie Beispiele

${(10 \sqrt{3})}^{2} = {(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 (15 \sqrt{3}) (6 \sqrt{3}) \cos (c)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$ um.

${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $15 \sqrt{3}$ an.

$15^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$225 {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$225 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$225 \cdot 3^{1} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$225 \cdot 3 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $225$ mit $3$ .

$675 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.5

Wende die Produktregel auf $6 \sqrt{3}$ an.

$675 + 6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$675 + 36 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$675 + 36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$675 + 36 \cdot 3^{1} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$675 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$675 + 108 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $15$ mit $- 2$ .

$675 + 108 - 30 \sqrt{3} \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $- 30 \sqrt{3} (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 30$ .

$675 + 108 - 180 \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.10.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.10.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$675 + 108 - 180 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$675 + 108 - 180 \cdot 3 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $- 180$ mit $3$ .

$675 + 108 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 2.2

Addiere $675$ und $108$ .

$783 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache ${(10 \sqrt{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$783 - 540 \cos (c) = 10^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$783 - 540 \cos (c) = 100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{1}$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$783 - 540 \cos (c) = 300$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (c)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $783$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 540 \cos (c) = 300 - 783$

Schritt 4.2

Subtrahiere $783$ von $300$ .

$- 540 \cos (c) = - 483$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 540 \cos (c) = - 483$ durch $- 540$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 540 \cos (c) = - 483$ durch $- 540$ .

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 540$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos (c)$ durch $1$ .

$\cos (c) = \frac{- 483}{- 540}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 483$ und $- 540$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 483$ heraus.

$\cos (c) = \frac{- 3 (161)}{- 540}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 540$ heraus.

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (c) = \frac{161}{180}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $c$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$c = \arccos (\frac{161}{180})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $\arccos (\frac{161}{180})$ .

$c = 0.46360902$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$c = 2 (3.14159265) - 0.46360902$

Schritt 9

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.46360902$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$c = 6.2831853 - 0.46360902$

Schritt 9.2

Subtrahiere $0.46360902$ von $6.2831853$ .

$c = 5.81957627$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (c)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (c)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$c = 0.46360902 + 2 π n, 5.81957627 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$