Trigonometrie Beispiele

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Schritt 3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 \cos (22.5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Schritt 3.2.1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 3.2.1.1.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.2.1.1.5.6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.2.1.1.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ als ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

Schritt 5.3.1.5

Vereinfache.

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $A$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

Schritt 7

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{B}$ als $B^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache.

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ als $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ um.

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

Schritt 8.3.1.3.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

Schritt 8.3.1.3.1.10

Multipliziere $A$ mit $A$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1.10.1

Bewege $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

Schritt 8.3.1.3.1.10.2

Mutltipliziere $A$ mit $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.1.12

Mutltipliziere $A^{2}$ mit $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.2.1

Addiere $4$ und $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.2.3

Subtrahiere $2 A$ von $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.2.4

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2} (- A)$ um.

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

Schritt 8.3.1.3.2.5

Subtrahiere $A \sqrt{2}$ von $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$