Trigonometrie Beispiele

$\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\log_{4} (81)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{4} (25)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ mit $4$ .

$\log_{4} (n) \cdot 4 = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\log_{4} (n)$ .

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 (2))$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{4} (25)$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $4 \log_{4} (n)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $2 \log_{4} (25)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25^{2})$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $25$ mit $2$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (625)$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81 \cdot 625)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $81$ mit $625$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (50625)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$n^{4} = 50625$

Schritt 6

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[4]{50625}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{50625}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $50625$ als $15^{4}$ um.

$n = \pm \sqrt[4]{15^{4}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$n = \pm 15$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$n = 15$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$n = - 15$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$n = 15, - 15$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$ nicht erfüllen.

$n = 15$