Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos^{2} (2 x)$ durch $1 - \sin^{2} (2 x)$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Stelle $\cos^{2} (2 x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ als $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\sin (2 x)$ aus $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\sin (2 x)$ aus $- \sin^{2} (2 x)$ heraus.

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $\sin (2 x)$ aus $\sin^{1} (2 x)$ heraus.

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $\sin (2 x)$ aus $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ heraus.

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\sin (2 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 2.4.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 2.4.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 2.4.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 2.4.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 2.4.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.4.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.5

Setze $- \sin (2 x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- \sin (2 x) + 1$ gleich $0$ .

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- \sin (2 x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (2 x) = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (2 x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (2 x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1$

Schritt 2.5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (1)$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.2.7.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.5.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.7.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.2.7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.7.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.5.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.5.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.5.2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.5.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Führe $π n$ und $\frac{π}{2} + π n$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$