Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (x)$ durch $\cot^{2} (x) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\cot (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 0.5$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $0.25$ und $16$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

Schritt 10

Löse in $\cot (x) = 1.76556443$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (1.76556443)$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $arccot (1.76556443)$ .

$x = 0.5153404$

Schritt 10.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Schritt 10.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.5153404$ .

$x = 3.65693305$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\cot (x) = - 2.26556443$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 2.26556443)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $arccot (- 2.26556443)$ .

$x = 2.7259209$

Schritt 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

Schritt 11.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 11.4.1

Addiere $2 π$ zu $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 11.4.2

Der resultierende Winkel von $5.86751355$ ist positiv und gleich $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 5.86751355$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 13.1

Führe $0.5153404 + π n$ und $3.65693305 + π n$ zu $0.5153404 + π n$ zusammen.

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.2

Führe $2.7259209 + π n$ und $5.86751355 + π n$ zu $2.7259209 + π n$ zusammen.

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$