Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\csc (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Schritt 1.1.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Schritt 2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$