Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Schritt 1

Ersetze die $\cot^{2} (x)$ durch $\csc^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Schritt 2

Multipliziere $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 \csc^{2} (x)$ als $- \csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Schritt 3.3

Schreibe $- 1 \sec^{2} (x)$ als $- \sec^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $\csc^{2} (x)$ aus $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ heraus.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $\csc^{2} (x)$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $\csc^{2} (x)$ aus $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ heraus.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4.1.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Schritt 4.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ als ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ um.

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 4.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \csc (x) \tan (x)$ und $b = \tan (x)$ .

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.7.1.1.1

Stelle $\csc (x)$ und $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.1.1.2

Schreibe $\csc (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.7.2.1.1

Stelle $\csc (x)$ und $\tan (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.2.1.2

Schreibe $\csc (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.7.2.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.8

Multipliziere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.9.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 4.1.9.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sec (x) (- \tan (x))$ und $\tan (x) \sec (x)$ neu an.

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.1.2

Addiere $- \sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.1.3

Addiere $\sec (x) \sec (x)$ und $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.9.2.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 4.1.9.2.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Schritt 4.1.9.2.3

Multipliziere $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 4.1.9.2.3.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.3.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Schritt 4.1.9.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Schritt 4.1.9.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 4.1.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = 1$

Schritt 5

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$