Trigonometrie Beispiele

\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0

$\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere

\cos^{3} (x) - \cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

\cos^{3} (x) - \cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

\cos^{3} (x)

$\cos^{3} (x)$ heraus.

\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

- \cos (x)

$- \cos (x)$ heraus.

\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere

\cos (x)

$\cos (x)$ aus

\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = \cos (x)

$a = \cos (x)$ und

b = 1

$b = 1$ .

\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0

$\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze

\cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

\cos (x)

$\cos (x)$ gleich

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von

\arccos (0)

$\arccos (0)$ ist

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.3.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 4

Setze

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ gleich

0

$0$ .

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

\cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ ist

π

$π$ .

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

Schritt 4.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere

π

$π$ von

2 π

$2 π$ .

x = π

$x = π$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 5

Setze

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ gleich

0

$0$ .

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\cos (x) = 1

$\cos (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (1)

$x = \arccos (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von

\arccos (1)

$\arccos (1)$ ist

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 5.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - 0

$x = 2 π - 0$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere

0

$0$ von

2 π

$2 π$ .

x = 2 π

$x = 2 π$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

x = \frac{π n}{2}

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

n

$n$