Trigonometrie Beispiele

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 30$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $896$ als $8^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $896$ heraus.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Schritt 4

Setze $15 + 4 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Schritt 5

Löse $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ um.

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 6

Setze $15 - 4 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ um.

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Dezimalform:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$