Trigonometrie Beispiele

$81^{x^{3} + 2 x^{2}} = 27^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{4 (x^{3} + 2 x^{2})} = 3^{3 \frac{5 x}{3}}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 \frac{5 x}{3}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $4 (x^{3} + 2 x^{2})$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} + 4 (2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 3 (\frac{5 x}{3})$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 3 \frac{5 x}{3}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 5 x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + 8 x^{2} - 5 x = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (8 x) - 5 x = 0$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x (8 x)$ heraus.

$x (4 x^{2} + 8 x) + x \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2} + 8 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$x (4 x^{2} + 8 x - 5) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$x (4 x^{2} + 8 (x) - 5) = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Schreibe $8$ um als $- 2$ plus $10$

$x (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5) = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 3.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$x ((2 x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (2 x - 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.8

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 3.8.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 3.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x - 1) (2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 0, 0.5, - 2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 0, \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$