Trigonometrie Beispiele

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $3^{2 x}$ als ${(3^{x})}^{2}$ um.

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 3^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $3^{x}$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $3^{x} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3^{x} - 3$ gleich $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3^{x} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 3$

Schritt 3.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{1}$

Schritt 3.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 4

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 0$