Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 2}$ als ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ um.

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ als $4 - x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{4 - x}$ und $\sqrt{4 - x}$ .

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{4 - x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ um.

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{4 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

Schritt 3.2.3

Addiere $2 x$ und $x$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(3 x - 7)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(3 x - 7)}^{2}$ als $(3 x - 7) (3 x - 7)$ um.

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(3 x - 7) (3 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $21 x$ von $- 21 x$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 42 x$ und $4 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

Schritt 6.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $16$ von $49$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ und deren Summe gleich $b = - 38$ ist.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $- 38$ aus $- 38 x$ heraus.

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Schritt 6.5.1.2

Schreibe $- 38$ um als $- 11$ plus $- 27$

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

Schritt 6.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

Schritt 6.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

Schritt 6.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 11$ .

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 6.7

Setze $9 x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $9 x - 11$ gleich $0$ .

$9 x - 11 = 0$

Schritt 6.7.2

Löse $9 x - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 11$

Schritt 6.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 11$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 11$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Schritt 6.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Schritt 6.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{11}{9}$

Schritt 6.8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{11}{9}, 3$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ nicht erfüllen.

$x = 3$