Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3 x + 7} = x - 71$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x + 7}}^{2} = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 7}$ als ${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 7)}^{1} = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 7 = {(x - 71)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - 71)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x - 71)}^{2}$ als $(x - 71) (x - 71)$ um.

$3 x + 7 = (x - 71) (x - 71)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x - 71) (x - 71)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = x (x - 71) - 71 (x - 71)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 71 - 71 (x - 71)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 71 - 71 x - 71 \cdot - 71$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x + 7 = x^{2} + x \cdot - 71 - 71 x - 71 \cdot - 71$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $- 71$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x + 7 = x^{2} - 71 \cdot x - 71 x - 71 \cdot - 71$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 71$ mit $- 71$ .

$3 x + 7 = x^{2} - 71 x - 71 x + 5041$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $71 x$ von $- 71 x$ .

$3 x + 7 = x^{2} - 142 x + 5041$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 142 x + 5041 = 3 x + 7$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 142 x + 5041 - 3 x = 7$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 142 x$ .

$x^{2} - 145 x + 5041 = 7$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 145 x + 5041 - 7 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $7$ von $5041$ .

$x^{2} - 145 x + 5034 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 145$ und $c = 5034$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{145 \pm \sqrt{{(- 145)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5034)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 145$ mit $2$ .

$x = \frac{145 \pm \sqrt{21025 - 4 \cdot 1 \cdot 5034}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5034$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{145 \pm \sqrt{21025 - 4 \cdot 5034}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5034$ .

$x = \frac{145 \pm \sqrt{21025 - 20136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $20136$ von $21025$ .

$x = \frac{145 \pm \sqrt{889}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{145 \pm \sqrt{889}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{145 + \sqrt{889}}{2}, \frac{145 - \sqrt{889}}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x + 7} = x - 71$ nicht erfüllen.

$x = \frac{145 + \sqrt{889}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{145 + \sqrt{889}}{2}$

Dezimalform:

$x = 87.40805151 \dots$