Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{4 \sin (x) + 7} = 3$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 \sin (x) + 7}}^{2} = 3^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 \sin (x) + 7}$ als ${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 \sin (x) + 7)}^{1} = 3^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 \sin (x) + 7 = 3^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$4 \sin (x) + 7 = 9$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) = 9 - 7$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$4 \sin (x) = 2$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 2$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 3.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 3.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$