Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sqrt{2} \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{1} (x)$ heraus.

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2} \sin (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.2.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 4.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 4.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 4.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.8.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 4.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 4.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 4.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$