Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \sin (x) \sec (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sqrt{2} \sin (x) \sec (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} \sin (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} \sin (x) = \cos (x) (2 \sin (x))$

Schritt 4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 6

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (2 x)$

Schritt 8

Subtrahiere $\sin (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2} \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sqrt{2} \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sqrt{2} \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \sqrt{2} - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x))$ heraus.

$\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 12

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 12.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 12.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 12.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 12.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 12.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Setze $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ gleich $0$ .

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 13.2

Löse $\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 13.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 13.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 13.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 13.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 13.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 13.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$