Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = 4$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\tan (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\tan (x) = \pm 2$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = 2$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - 2$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = 2, - 2$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 2$

$\tan (x) = - 2$

Schritt 6

Löse in $\tan (x) = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (2)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Schritt 6.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Schritt 6.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Schritt 6.4.3

Addiere $3.14159265$ und $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\tan (x) = - 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 2)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Schritt 7.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $2.03444393$ ist positiv und gleich $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $π$ zu $- 1.10714871$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.10714871 + π$

Schritt 7.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.10714871$

Schritt 7.6.3

Subtrahiere $1.10714871$ von $3.14159265$ .

$2.03444393$

Schritt 7.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.03444393$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $1.10714871 + π n$ und $4.24874137 + π n$ zu $1.10714871 + π n$ zusammen.

$x = 1.10714871 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $2.03444393 + π n$ und $2.03444393 + π n$ zu $2.03444393 + π n$ zusammen.

$x = 1.10714871 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$