Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) \cot (x) = 3$

Schritt 1

Ersetze die $\tan^{2} (x)$ durch $\sec^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\sec^{2} (x) - 1) \cot (x) = 3$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x) \cot (x) - 1 \cot (x) = 3$

Schritt 3

Schreibe $- 1 \cot (x)$ als $- \cot (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x) = 3$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\sec^{2} (x) \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) \sec^{2} (x) - \cot (x) = 3$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $- \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1 = 3$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1$ heraus.

$\cot (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 3$

Schritt 4.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cot (x) \tan^{2} (x) = 3$

Schritt 4.1.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan^{2} (x) = 3$

Schritt 4.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 3$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 3$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Schritt 4.1.8

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) = 3$

Schritt 5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (3)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Schritt 7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 8.3

Addiere $3.14159265$ und $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Führe $1.24904577 + π n$ und $4.39063842 + π n$ zu $1.24904577 + π n$ zusammen.

$x = 1.24904577 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$