Trigonometrie Beispiele

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = \sin^{2} (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin^{2} (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) = 1$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = 1$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = 1, - 1$

Schritt 3.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Schritt 3.2.6

Löse in $\sin (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 3.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.7

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.7.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 3.2.7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.7.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 3.2.7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 3.2.7.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.7.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.7.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.7.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.7.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.7.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.7.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.7.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.7.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin^{2} (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin^{2} (x) + 3$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.6

Löse in $\sin (x) = i \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

Schritt 4.2.6.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2.7

Löse in $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

Schritt 4.2.7.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (- i \sqrt{3})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2.8

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$