Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) = 4 - 2 \tan (x)$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} = 4 - 2 u$

Schritt 2

Addiere $2 u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 2 u = 4$

Schritt 3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 2 u - 4 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$

Schritt 10

Löse in $\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = 1.23606797$

Schritt 10.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1.23606797)$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Berechne $\arctan (1.23606797)$ .

$x = 0.89058134$

Schritt 10.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

Schritt 10.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.89058134$

Schritt 10.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

Schritt 10.5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.89058134$ .

$x = 4.032174$

Schritt 10.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 10.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = - 3.23606797$

Schritt 11.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 3.23606797)$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Berechne $\arctan (- 3.23606797)$ .

$x = - 1.27108772$

Schritt 11.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.27108772 - (3.14159265)$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 11.5.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.27108772 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 11.5.2

Der resultierende Winkel von $1.87050492$ ist positiv und gleich $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = 1.87050492$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.7.1

Addiere $π$ zu $- 1.27108772$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.27108772 + π$

Schritt 11.7.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.27108772$

Schritt 11.7.3

Subtrahiere $1.27108772$ von $3.14159265$ .

$1.87050492$

Schritt 11.7.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.87050492$

Schritt 11.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 13.1

Führe $0.89058134 + π n$ und $4.032174 + π n$ zu $0.89058134 + π n$ zusammen.

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.2

Führe $1.87050492 + π n$ und $1.87050492 + π n$ zu $1.87050492 + π n$ zusammen.

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$