Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 6$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 6$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 6$

Schritt 3

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 6$

Schritt 4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 2 u + 1 - 6 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$u^{2} + 2 u - 5 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = 1.44948974$

Schritt 11.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1.44948974)$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Berechne $\arctan (1.44948974)$ .

$x = 0.96688248$

Schritt 11.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Schritt 11.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.96688248$

Schritt 11.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Schritt 11.5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.96688248$ .

$x = 4.10847514$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = - 3.44948974$

Schritt 12.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 3.44948974)$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Berechne $\arctan (- 3.44948974)$ .

$x = - 1.28863304$

Schritt 12.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.28863304 - (3.14159265)$

Schritt 12.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 12.5.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.28863304 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 12.5.2

Der resultierende Winkel von $1.85295961$ ist positiv und gleich $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = 1.85295961$

Schritt 12.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.7.1

Addiere $π$ zu $- 1.28863304$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.28863304 + π$

Schritt 12.7.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.28863304$

Schritt 12.7.3

Subtrahiere $1.28863304$ von $3.14159265$ .

$1.85295961$

Schritt 12.7.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.85295961$

Schritt 12.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 14.1

Führe $0.96688248 + π n$ und $4.10847514 + π n$ zu $0.96688248 + π n$ zusammen.

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14.2

Führe $1.85295961 + π n$ und $1.85295961 + π n$ zu $1.85295961 + π n$ zusammen.

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$