Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.6

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Schritt 1.1.7

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Schritt 6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$ um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$

Schritt 8

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\cos (x), 1, 1, 1, 1$

Schritt 8.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\cos (x)$

Schritt 9

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ mit $\cos (x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ mit $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Schritt 9.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.1

Bewege $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - (\cos (x) \cos (x)) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Schritt 9.2.1.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0$

Schritt 10

Löse die Gleichung.

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Schritt 10.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2

Setze die Werte $a = - \sqrt{6}$ , $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $\cos (x)$ auf.

$\frac{- (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{6} \cdot 1)}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 10.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.3

Schreibe ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ um.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.4

Multipliziere $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.5.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 10.3.1.5.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.6

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Schritt 10.3.1.5.1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 10.3.1.5.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.3.1.5.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1.5.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.5.3

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $- \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.1.8

Addiere $- 2 \sqrt{6}$ und $4 \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$

Schritt 10.3.3

Vereinfache $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 10.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 10.3.5.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.5.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.5.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 10.3.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 10.3.5.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 10.3.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 10.3.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Schritt 10.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}, \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Schritt 11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 12.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 12.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Berechne $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = 2.18627603$

Schritt 13.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Schritt 13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Schritt 13.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

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Schritt 13.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Schritt 13.4.2.2

Subtrahiere $2.18627603$ von $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$