Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2 \tan^{2} (x)$ von $\tan^{2} (x)$ .

$1 - \tan^{2} (x) = - 2$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- \tan^{2} (x) + 1 = - 2$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\tan (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan^{2} (x) = - 2 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- \tan^{2} (x) = - 3$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- \tan^{2} (x) = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan^{2} (x) = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $\tan^{2} (x)$ durch $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 9

Löse in $\tan (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 9.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 9.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 9.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 9.4.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Löse in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 10.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 10.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 10.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 10.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 10.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 10.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 10.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 10.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 12.1

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12.2

Führe $\frac{2 π}{3} + π n$ und $\frac{2 π}{3} + π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$