Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 3.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x) + 3$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 3$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$