Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 5

Setze $u = \cos^{2} (x)$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $u$ heraus.

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{4}$ heraus.

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - 1 (- u)$ heraus.

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ heraus.

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Schritt 6.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.5

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Schritt 6.2.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Schritt 8

Setze $u - \frac{1}{2}$ gleich $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 9

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 10

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = \cos^{2} (x)$ in die gelöste Gleichung.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $\cos (x)$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 11.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 11.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 11.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 11.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 13.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 13.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 13.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 13.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 14.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 14.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$