Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.3.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 6.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Schritt 8

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

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Schritt 8.1

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Schritt 8.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Schritt 8.4

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 8.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 11.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Schritt 11.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

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Schritt 11.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Schritt 11.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Schritt 11.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Schritt 11.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Schritt 11.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 12.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Schritt 12.4

Vereinfache $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $7 π$ von $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 14.1

Führe $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ und $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{12} + π n$ zusammen.

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14.2

Führe $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ zu $\frac{7 π}{12} + π n$ zusammen.

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$