Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - \frac{1}{3} = 0$

Schritt 1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Schritt 6.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $0.6154797$ von $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = - 0.6154797$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.6154797 + 3.14159265$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.6154797 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.6154797 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $3.75707236$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.6154797 + 3.14159265$ .

$x = 3.75707236$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.6154797$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.6154797 + 2 π$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $0.6154797$ von $2 π$ .

$5.66770559$

Schritt 7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.66770559$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.75707236 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $0.6154797 + 2 π n$ und $3.75707236 + 2 π n$ zu $0.6154797 + π n$ zusammen.

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $2.52611294 + 2 π n$ und $5.66770559 + 2 π n$ zu $2.52611294 + π n$ zusammen.

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$