Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $2 \cos^{2} (x)$ von $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- 3 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 10

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.95531661$

Schritt 10.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Schritt 10.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.95531661$ .

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Schritt 10.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.95531661$

Schritt 10.4.2.2

Subtrahiere $0.95531661$ von $6.2831853$ .

$x = 5.32786868$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 2.18627603$

Schritt 11.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Schritt 11.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Schritt 11.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

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Schritt 11.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Schritt 11.4.2.2

Subtrahiere $2.18627603$ von $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 13.1

Führe $0.95531661 + 2 π n$ und $4.09690927 + 2 π n$ zu $0.95531661 + π n$ zusammen.

$x = 0.95531661 + π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.2

Führe $5.32786868 + 2 π n$ und $2.18627603 + 2 π n$ zu $2.18627603 + π n$ zusammen.

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$