Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Addiere $- \cos^{2} (x)$ und $3 \cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 7.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 7.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Löse in $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 10.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung