Trigonometrie Beispiele

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x (4 - x))$

Schritt 1.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x \cdot 4 + x (- x))$

Schritt 1.1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.1.2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x + x (- x))$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x - x \cdot x)$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1

Bewege $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - (x \cdot x))$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - x^{2})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$3 x = 4 x - x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x - x^{2} = 3 x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + x = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $x$ als $1 x$ um.

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- x$ aus $1 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 1)$ heraus.

$- x (x - 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ nicht erfüllen.

$x = 1$