Trigonometrie Beispiele

$\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x + 5) = 3$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x + 5)) = 3$

Schritt 3

Multipliziere $(x + 3) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x (x + 5) + 3 (x + 5)) = 3$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)) = 3$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Schritt 4.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 3 x + 15) = 3$

Schritt 4.2

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} + 8 x + 15$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$ um.

$x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$

Schritt 6.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 8$

Schritt 6.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 8 x + 15 - 8 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $8$ ist.

$1, 7$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x + 7) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.8

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 7$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$ nicht erfüllen.

$x = - 1$