Trigonometrie Beispiele

$\log_{4} (x + 7) - \log_{4} (x - 7) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x + 7}{x - 7}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{4} (\frac{x + 7}{x - 7}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{3} = \frac{x + 7}{x - 7}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 7 = 4^{3} (x - 7)$

Schritt 4

Vereinfache $4^{3} (x - 7)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$x + 7 = 64 (x - 7)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 7 = 64 x + 64 \cdot - 7$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $64$ mit $- 7$ .

$x + 7 = 64 x - 448$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $64 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 7 - 64 x = - 448$

Schritt 5.2

Subtrahiere $64 x$ von $x$ .

$- 63 x + 7 = - 448$

Schritt 6

Faktorisiere $7$ aus $- 63 x + 7$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $7$ aus $- 63 x$ heraus.

$7 (- 9 x) + 7 = - 448$

Schritt 6.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$7 (- 9 x) + 7 (1) = - 448$

Schritt 6.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (- 9 x) + 7 (1)$ heraus.

$7 (- 9 x + 1) = - 448$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $7 (- 9 x + 1) = - 448$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (- 9 x + 1) = - 448$ durch $7$ .

$\frac{7 (- 9 x + 1)}{7} = \frac{- 448}{7}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (- 9 x + 1)}{7} = \frac{- 448}{7}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 9 x + 1$ durch $1$ .

$- 9 x + 1 = \frac{- 448}{7}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 448$ durch $7$ .

$- 9 x + 1 = - 64$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x = - 64 - 1$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $- 64$ .

$- 9 x = - 65$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = - 65$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = - 65$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{- 65}{- 9}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{- 65}{- 9}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 65}{- 9}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{65}{9}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{65}{9}$

Dezimalform:

$x = 7.\overline{2}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 7 \frac{2}{9}$