Trigonometrie Beispiele

$\log_{4} (y) = \log_{4} (x) - \log_{4} (5) + \log_{4} (3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\log_{4} (x) - \log_{4} (5) + \log_{4} (3) = \log_{4} (y)$ um.

$\log_{4} (x) - \log_{4} (5) + \log_{4} (3) = \log_{4} (y)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x}{5}) + \log_{4} (3) = \log_{4} (y)$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (\frac{x}{5} \cdot 3) = \log_{4} (y)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{x}{5}$ und $3$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot 3}{5}) = \log_{4} (y)$

Schritt 2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{4} (\frac{3 x}{5}) = \log_{4} (y)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{3 x}{5} = y$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 x}{5} = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 x}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 x}{5} = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{3} y$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $y$ .

$x = \frac{5 y}{3}$